Производная tan(sin(x))

Вы ввели

tan(sin(x))

$$\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

d              
--(tan(sin(x)))
dx             

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\sin^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Первая производная

/       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

/       2        \ /               2               \
\1 + tan (sin(x))/*\-sin(x) + 2*cos (x)*tan(sin(x))/

$$\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right)$$

Третья производная

/       2        \ /                                 2    /       2        \        2       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*\-1 - 6*sin(x)*tan(sin(x)) + 2*cos (x)*\1 + tan (sin(x))/ + 4*cos (x)*tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

График