Производная tan(3*x^2)

Вы ввели

   /   2\
tan\3*x /

$$\tan{\left(3 x^{2} \right)}$$

d /   /   2\\
--\tan\3*x //
dx           

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x^{2} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(3 x^{2} \right)} = \frac{\sin{\left(3 x^{2} \right)}}{\cos{\left(3 x^{2} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{2} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 3 x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $6 x$

      В результате последовательности правил:

      $6 x \cos{\left(3 x^{2} \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 3 x^{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $6 x$

      В результате последовательности правил:

      $- 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{6 x}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{6 x}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

Первая производная

    /       2/   2\\
6*x*\1 + tan \3*x //

$$6 x \left(\tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/   2\       2 /       2/   2\\    /   2\\
6*\1 + tan \3*x / + 12*x *\1 + tan \3*x //*tan\3*x //

$$6 \cdot \left(12 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x^{2} \right)} + \tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 1\right)$$

Третья производная

      /       2/   2\\ /   2 /       2/   2\\      2    2/   2\      /   2\\
216*x*\1 + tan \3*x //*\2*x *\1 + tan \3*x // + 4*x *tan \3*x / + tan\3*x //

$$216 x \left(\tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 1\right) \left(2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 1\right) + 4 x^{2} \tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + \tan{\left(3 x^{2} \right)}\right)$$

График