Производная (tan(3*x))^5

Вы ввели

   5     
tan (3*x)

$$\tan^{5}{\left(3 x \right)}$$

d /   5     \
--\tan (3*x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} \tan^{5}{\left(3 x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(3 x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Первая производная

   4      /           2     \
tan (3*x)*\15 + 15*tan (3*x)/

$$\left(15 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}$$

Вторая производная

      3      /       2     \ /         2     \
90*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2 + 3*tan (3*x)/

$$90 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) \tan^{3}{\left(3 x \right)}$$

Третья производная

                              /                               2                               \
       2      /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|
270*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2*tan (3*x) + 6*\1 + tan (3*x)/  + 13*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)//

$$270 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(6 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + 13 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(3 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)}$$

График