Производная (tan(3*x))^x4

Вы ввели

   x4     
tan  (3*x)

$$\tan^{x_{4}}{\left (3 x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (3 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{x_{4}}$ получим $\frac{u^{x_{4}} x_{4}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (3 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{3}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x_{4} \left(3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) \tan^{x_{4}}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan{\left (3 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 x_{4} \tan^{x_{4} - 1}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{3 x_{4} \tan^{x_{4} - 1}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}}$

Первая производная

      x4      /         2     \
x4*tan  (3*x)*\3 + 3*tan (3*x)/
-------------------------------
            tan(3*x)           

$$\frac{x_{4} \tan^{x_{4}}{\left (3 x \right )}}{\tan{\left (3 x \right )}} \left(3 \tan^{2}{\left (3 x \right )} + 3\right)$$

Вторая производная

                                /           2           /       2     \\
        x4      /       2     \ |    1 + tan (3*x)   x4*\1 + tan (3*x)/|
9*x4*tan  (3*x)*\1 + tan (3*x)/*|2 - ------------- + ------------------|
                                |         2                 2          |
                                \      tan (3*x)         tan (3*x)     /

$$9 x_{4} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(\frac{x_{4} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (3 x \right )}} - \frac{\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (3 x \right )}} + 2\right) \tan^{x_{4}}{\left (3 x \right )}$$

Третья производная

                                 /                                                  2                      2                       2                       \
                                 |               /       2     \     /       2     \      2 /       2     \         /       2     \         /       2     \|
         x4      /       2     \ |             4*\1 + tan (3*x)/   2*\1 + tan (3*x)/    x4 *\1 + tan (3*x)/    3*x4*\1 + tan (3*x)/    6*x4*\1 + tan (3*x)/|
27*x4*tan  (3*x)*\1 + tan (3*x)/*|4*tan(3*x) - ----------------- + ------------------ + -------------------- - --------------------- + --------------------|
                                 |                  tan(3*x)              3                     3                       3                    tan(3*x)      |
                                 \                                     tan (3*x)             tan (3*x)               tan (3*x)                             /

$$27 x_{4} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(\frac{x_{4}^{2} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (3 x \right )}} - \frac{3 x_{4} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (3 x \right )}} + \frac{6 x_{4} \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)}{\tan{\left (3 x \right )}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (3 x \right )}} - \frac{4 \tan^{2}{\left (3 x \right )} + 4}{\tan{\left (3 x \right )}} + 4 \tan{\left (3 x \right )}\right) \tan^{x_{4}}{\left (3 x \right )}$$