Производная tan(x/2)^(4)

Вы ввели

   4/x\
tan |-|
    \2/

$$\tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{4 \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4 \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{4 \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

   3/x\ /         2/x\\
tan |-|*|2 + 2*tan |-||
    \2/ \          \2//

$$\left(2 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2\right) \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

   2/x\ /       2/x\\ /         2/x\\
tan |-|*|1 + tan |-||*|3 + 5*tan |-||
    \2/ \        \2// \          \2//

$$\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(5 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 3\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

              /                           2                           \       
/       2/x\\ |     4/x\     /       2/x\\          2/x\ /       2/x\\|    /x\
|1 + tan |-||*|2*tan |-| + 3*|1 + tan |-||  + 10*tan |-|*|1 + tan |-|||*tan|-|
\        \2// \      \2/     \        \2//           \2/ \        \2///    \2/

$$\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(3 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} + 10 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$