Производная (tan(x/2))^3

Вы ввели

   3/x\
tan |-|
    \2/

$$\tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

        /         2/x\\
        |    3*tan |-||
   2/x\ |3         \2/|
tan |-|*|- + ---------|
    \2/ \2       2    /

$$\left(\frac{3}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{3}{2}\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/x\\ /         2/x\\    /x\
3*|1 + tan |-||*|1 + 2*tan |-||*tan|-|
  \        \2// \          \2//    \2/
--------------------------------------
                  2                   

$$\frac{3}{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

                /             2                                      \
  /       2/x\\ |/       2/x\\         4/x\        2/x\ /       2/x\\|
3*|1 + tan |-||*||1 + tan |-||  + 2*tan |-| + 7*tan |-|*|1 + tan |-|||
  \        \2// \\        \2//          \2/         \2/ \        \2///
----------------------------------------------------------------------
                                  4                                   

$$\frac{3}{4} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} + 7 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$