Применим правило производной частного:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=tan(x) и g(x)=cot(x).
Чтобы найти dxdf(x):
Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
tan(x)=cos(x)sin(x)
Применим правило производной частного:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=sin(x) и g(x)=cos(x).
Чтобы найти dxdf(x):
Производная синуса есть косинус:
dxdsin(x)=cos(x)
Чтобы найти dxdg(x):
Производная косинус есть минус синус:
dxdcos(x)=−sin(x)
Теперь применим правило производной деления:
cos2(x)sin2(x)+cos2(x)
Чтобы найти dxdg(x):
Есть несколько способов вычислить эту производную.
Method #1
Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
cot(x)=tan(x)1
Заменим u=tan(x).
В силу правила, применим: u1 получим −u21
Затем примените цепочку правил. Умножим на dxdtan(x):
dxdtan(x)=cos2(x)1
В результате последовательности правил:
−cos2(x)tan2(x)sin2(x)+cos2(x)
Method #2
Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
cot(x)=sin(x)cos(x)
Применим правило производной частного:
dxdg(x)f(x)=g2(x)−f(x)dxdg(x)+g(x)dxdf(x)
f(x)=cos(x) и g(x)=sin(x).
Чтобы найти dxdf(x):
Производная косинус есть минус синус:
dxdcos(x)=−sin(x)
Чтобы найти dxdg(x):
Производная синуса есть косинус:
dxdsin(x)=cos(x)
Теперь применим правило производной деления:
sin2(x)−sin2(x)−cos2(x)
Теперь применим правило производной деления:
cot2(x)cos2(x)(sin2(x)+cos2(x))cot(x)+cos2(x)tan(x)sin2(x)+cos2(x)