Производная tan(x)/cot(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
tan(x)
------
cot(x)
tan(x)cot(x)\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}
d /tan(x)\
--|------|
dx\cot(x)/
ddxtan(x)cot(x)\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=tan(x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} и g(x)=cot(x)g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} и g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Теперь применим правило производной деления:

      sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Заменим u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. ddxtan(x)=1cos2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        В результате последовательности правил:

        sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} и g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Производная косинус есть минус синус:

          ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Производная синуса есть косинус:

          ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Теперь применим правило производной деления:

        sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Теперь применим правило производной деления:

    (sin2(x)+cos2(x))cot(x)cos2(x)+sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan(x)cot2(x)\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    2tan(x)cos2(x)\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}


Ответ:

2tan(x)cos2(x)\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Первая производная [src]
       2      /       2   \       
1 + tan (x)   \1 + cot (x)/*tan(x)
----------- + --------------------
   cot(x)              2          
                    cot (x)       
tan2(x)+1cot(x)+(cot2(x)+1)tan(x)cot2(x)\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}
Вторая производная [src]
  /                       /       2   \ /       2   \                 /            2   \       \
  |/       2   \          \1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/   /       2   \ |     1 + cot (x)|       |
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) + --------------------------- + \1 + cot (x)/*|-1 + -----------|*tan(x)|
  |                                  cot(x)                           |          2     |       |
  \                                                                   \       cot (x)  /       /
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             cot(x)                                             
2((cot2(x)+1cot2(x)1)(cot2(x)+1)tan(x)+(tan2(x)+1)(cot2(x)+1)cot(x)+(tan2(x)+1)tan(x))cot(x)\frac{2 \left(\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}\right)}{\cot{\left(x \right)}}
Третья производная [src]
  /                                                                                                                             /            2   \                                       \
  |                                                                                                 /       2   \ /       2   \ |     1 + cot (x)|                                       |
  |/                               2                  3\                                          3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|                                       |
  ||                  /       2   \      /       2   \ |          /       2   \ /         2   \                                 |          2     |     /       2   \ /       2   \       |
  ||         2      5*\1 + cot (x)/    3*\1 + cot (x)/ |          \1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/                                 \       cot (x)  /   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*||2 + 2*cot (x) - ---------------- + ----------------|*tan(x) + ----------------------------- + ------------------------------------------------ + ------------------------------------|
  ||                       2                  4        |                      cot(x)                                   cot(x)                                         2                  |
  \\                    cot (x)            cot (x)     /                                                                                                           cot (x)               /
2(3(cot2(x)+1cot2(x)1)(tan2(x)+1)(cot2(x)+1)cot(x)+(tan2(x)+1)(3tan2(x)+1)cot(x)+3(tan2(x)+1)(cot2(x)+1)tan(x)cot2(x)+(3(cot2(x)+1)3cot4(x)5(cot2(x)+1)2cot2(x)+2cot2(x)+2)tan(x))2 \cdot \left(\frac{3 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}\right)
График
Производная tan(x)/cot(x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/4/50/e88f6dd5be976d22c7caf9152f36d.png