Производная (tan(x))/x^2

Вы ввели

tan(x)
------
   2  
  x   

$$\frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{4}} \left(\frac{x^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - 2 x \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \sin{\left (2 x \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \sin{\left (2 x \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2              
1 + tan (x)   2*tan(x)
----------- - --------
      2           3   
     x           x    

$$\frac{1}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{2}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                         /       2   \           \
  |/       2   \          2*\1 + tan (x)/   3*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) - --------------- + --------|
  |                              x              2   |
  \                                            x    /
-----------------------------------------------------
                           2                         
                          x                          

$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4\right) + \frac{6}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /             2                                           /       2   \     /       2   \       \
  |/       2   \    12*tan(x)        2    /       2   \   9*\1 + tan (x)/   6*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/  - --------- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + --------------- - ----------------------|
  |                      3                                        2                   x           |
  \                     x                                        x                                /
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  2                                                
                                                 x                                                 

$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{12}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(18 \tan^{2}{\left (x \right )} + 18\right) - \frac{24}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}\right)$$