Производная tan(x-pi/4)

Вы ввели

   /    pi\
tan|x - --|
   \    4 /

$$\tan{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

d /   /    pi\\
--|tan|x - --||
dx\   \    4 //

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - \frac{\pi}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$:

      1. дифференцируем $x - \frac{\pi}{4}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{4}$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - \frac{\pi}{4}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$:

      1. дифференцируем $x - \frac{\pi}{4}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{4}$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Первая производная

       2/    pi\
1 + tan |x - --|
        \    4 /

$$\tan^{2}{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1$$

Вторая производная

   /       2/    pi\\    /    pi\
-2*|1 + cot |x + --||*cot|x + --|
   \        \    4 //    \    4 /

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Третья производная

  /       2/    pi\\ /         2/    pi\\
2*|1 + cot |x + --||*|1 + 3*cot |x + --||
  \        \    4 // \          \    4 //

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right)$$

График