Производная (tan(x)-cot(x))^2

Вы ввели

                 2
(tan(x) - cot(x)) 

$$\left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(2 \tan{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \tan{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \tan{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

                  /         2           2   \
(tan(x) - cot(x))*\4 + 2*cot (x) + 2*tan (x)/

$$\left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right) \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4\right)$$

Вторая производная

  /                       2                                                                     \
  |/       2         2   \                         //       2   \          /       2   \       \|
2*\\2 + cot (x) + tan (x)/  + 2*(-cot(x) + tan(x))*\\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x)//

$$2 \left(2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right) + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}\right)$$

Третья производная

  /                   /             2                2                                                    \                                                                          \
  |                   |/       2   \    /       2   \         2    /       2   \        2    /       2   \|     //       2   \          /       2   \       \ /       2         2   \|
4*\(-cot(x) + tan(x))*\\1 + cot (x)/  + \1 + tan (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)// + 3*\\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x)/*\2 + cot (x) + tan (x)//

$$4 \left(3 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )}\right)\right)$$