Производная (tan(x)-1)/sec(x)

Вы ввели

tan(x) - 1
----------
  sec(x)  

$$\frac{\tan{\left (x \right )} - 1}{\sec{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} - 1$ и $g{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sec^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{\sec{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

       2                         
1 + tan (x)   (tan(x) - 1)*tan(x)
----------- - -------------------
   sec(x)            sec(x)      

$$- \frac{\tan{\left (x \right )}}{\sec{\left (x \right )}} \left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\sec{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

-(-1 + tan(x)) 
---------------
     sec(x)    

$$- \frac{\tan{\left (x \right )} - 1}{\sec{\left (x \right )}}$$

Третья производная

               2                                                                                     
  /       2   \       2    /       2   \      3                    /       2   \                     
- \1 + tan (x)/  + tan (x)*\1 + tan (x)/ - tan (x)*(-1 + tan(x)) + \1 + tan (x)/*(-1 + tan(x))*tan(x)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                sec(x)                                               

$$\frac{1}{\sec{\left (x \right )}} \left(\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \tan^{3}{\left (x \right )} - \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )}\right)$$