Производная tan(x)-1/x

Вы ввели

         1
tan(x) - -
         x

$$\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$ почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

   В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{1}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

    1       2   
1 + -- + tan (x)
     2          
    x           

$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 + \frac{1}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /  1    /       2   \       \
2*|- -- + \1 + tan (x)/*tan(x)|
  |   3                       |
  \  x                        /

$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{3}}\right)$$

Третья производная

  /             2                               \
  |/       2   \    3         2    /       2   \|
2*|\1 + tan (x)/  + -- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/|
  |                  4                          |
  \                 x                           /

$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{3}{x^{4}}\right)$$