Производная tan(x)-x*sec(x)

Вы ввели

tan(x) - x*sec(x)

$$- x \sec{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- x \sec{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

               $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

         В результате: $\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \sec{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - \sec{\left (x \right )}$

   В результате: $- \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \sec{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

       2                              
1 + tan (x) - sec(x) - x*sec(x)*tan(x)

$$- x \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )} + 1$$

Вторая производная

                     /       2   \               2               /       2   \       
-2*sec(x)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) - x*tan (x)*sec(x) - x*\1 + tan (x)/*sec(x)

$$- x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} - x \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - 2 \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

               2                                                                                                                           
  /       2   \         2               /       2   \               2    /       2   \        3                 /       2   \              
2*\1 + tan (x)/  - 3*tan (x)*sec(x) - 3*\1 + tan (x)/*sec(x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - x*tan (x)*sec(x) - 5*x*\1 + tan (x)/*sec(x)*tan(x)

$$- 5 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - x \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} - 3 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$