Производная функции/ От одной переменной/ y' = ((tan(x)+cot(x))^7)'

Производная (tan(x)+cot(x))^7

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                 7
(tan(x) + cot(x))
(tan⁡(x)+cot⁡(x))7\left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{7}
Подробное решение

  1. Заменим u=tan⁡(x)+cot⁡(x)u = \tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}.

  2. В силу правила, применим: u7u^{7} получим 7u67 u^{6}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(tan⁡(x)+cot⁡(x))\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right):

    1. дифференцируем tan⁡(x)+cot⁡(x)\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )} почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

      В результате: 1cos⁡2(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    7(1cos⁡2(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x))(tan⁡(x)+cot⁡(x))67 \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{6}

  4. Теперь упростим:

    7(tan⁡(x)+cot⁡(x))6(tan⁡2(x)−1)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{7 \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{6} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

Ответ:

7(tan⁡(x)+cot⁡(x))6(tan⁡2(x)−1)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{7 \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{6} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-10000000000000000050000000000000000
Первая производная [src]
                 6 /       2           2   \
(tan(x) + cot(x)) *\- 7*cot (x) + 7*tan (x)/
(tan⁡(x)+cot⁡(x))6(7tan⁡2(x)−7cot⁡2(x))\left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{6} \left(7 \tan^{2}{\left (x \right )} - 7 \cot^{2}{\left (x \right )}\right)
Упростить
Вторая производная [src]
                      /                     2                                                                  \
                    5 |  /   2         2   \    //       2   \          /       2   \       \                  |
14*(cot(x) + tan(x)) *\3*\tan (x) - cot (x)/  + \\1 + cot (x)/*cot(x) + \1 + tan (x)/*tan(x)/*(cot(x) + tan(x))/
14(((tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x))(tan⁡(x)+cot⁡(x))+3(tan⁡2(x)−cot⁡2(x))2)(tan⁡(x)+cot⁡(x))514 \left(\left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right) + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )}\right)^{2}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{5}
Упростить
Третья производная [src]
                      /                      3                      /             2                2                                                    \                                                                                         \
                    4 |   /   2         2   \                     2 |/       2   \    /       2   \         2    /       2   \        2    /       2   \|      /   2         2   \ //       2   \          /       2   \       \                  |
14*(cot(x) + tan(x)) *\15*\tan (x) - cot (x)/  + (cot(x) + tan(x)) *\\1 + tan (x)/  - \1 + cot (x)/  - 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)// + 18*\tan (x) - cot (x)/*\\1 + cot (x)/*cot(x) + \1 + tan (x)/*tan(x)/*(cot(x) + tan(x))/
14(tan⁡(x)+cot⁡(x))4(18((tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x))(tan⁡(x)+cot⁡(x))(tan⁡2(x)−cot⁡2(x))+(tan⁡(x)+cot⁡(x))2((tan⁡2(x)+1)2+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)−(cot⁡2(x)+1)2−2(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x))+15(tan⁡2(x)−cot⁡2(x))3)14 \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{4} \left(18 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )}\right) + \left(\tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}\right)^{2} \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )}\right) + 15 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )}\right)^{3}\right)
Упростить