Производная функции/ От одной переменной/ y' = (tan(x+1/x))'

Производная tan(x+1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /    1\
tan|x + -|
   \    x/
tan⁡(x+1x)\tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )}
Подробное решение

  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Один из способов:

    1. Заменим u=x+1xu = x + \frac{1}{x}.

    2. ddutan⁡(u)=1cos⁡2(u)\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x+1x)\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right):

      1. дифференцируем x+1xx + \frac{1}{x} почленно:

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        2. В силу правила, применим: 1x\frac{1}{x} получим −1x2- \frac{1}{x^{2}}

        В результате: 1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

      В результате последовательности правил:

      1−1x2cos⁡2(x+1x)\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}

  2. Теперь упростим:

    x2−1x2cos⁡2(x+1x)\frac{x^{2} - 1}{x^{2} \cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}

Ответ:

x2−1x2cos⁡2(x+1x)\frac{x^{2} - 1}{x^{2} \cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-500500
Первая производная [src]
/       2/    1\\ /    1 \
|1 + tan |x + -||*|1 - --|
\        \    x// |     2|
                  \    x /
(1−1x2)(tan⁡2(x+1x)+1)\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right)
Упростить
Вторая производная [src]
                    /             2           \
  /       2/    1\\ |1    /    1 \     /    1\|
2*|1 + tan |x + -||*|-- + |1 - --| *tan|x + -||
  \        \    x// | 3   |     2|     \    x/|
                    \x    \    x /            /
2((1−1x2)2tan⁡(x+1x)+1x3)(tan⁡2(x+1x)+1)2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{3}}\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right)
Упростить
Третья производная [src]
                    /                                                                 /    1 \    /    1\\
                    |                                                               6*|1 - --|*tan|x + -||
                    |               3                               3                 |     2|    \    x/|
  /       2/    1\\ |  3    /    1 \  /       2/    1\\     /    1 \     2/    1\     \    x /           |
2*|1 + tan |x + -||*|- -- + |1 - --| *|1 + tan |x + -|| + 2*|1 - --| *tan |x + -| + ---------------------|
  \        \    x// |   4   |     2|  \        \    x//     |     2|      \    x/              3         |
                    \  x    \    x /                        \    x /                          x          /
2(tan⁡2(x+1x)+1)((1−1x2)3(tan⁡2(x+1x)+1)+2(1−1x2)3tan⁡2(x+1x)+6x3(1−1x2)tan⁡(x+1x)−3x4)2 \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right) + 2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + \frac{6}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} - \frac{3}{x^{4}}\right)
Упростить