Производная tan(x+sec(x))

Вы ввели

tan(x + sec(x))

$$\tan{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = x + \sec{\left (x \right )}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \sec{\left (x \right )}\right)$:

      1. дифференцируем $x + \sec{\left (x \right )}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

               $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

         В результате: $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1}{\cos^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1}{\cos^{2}{\left (x + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1}{\cos^{2}{\left (x + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )}}$

Первая производная

/       2            \                    
\1 + tan (x + sec(x))/*(1 + sec(x)*tan(x))

$$\left(\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

/       2            \ //         2   \                               2                \
\1 + tan (x + sec(x))/*\\1 + 2*tan (x)/*sec(x) + 2*(1 + sec(x)*tan(x)) *tan(x + sec(x))/

$$\left(2 \left(\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \tan{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

/       2            \ /                     3 /       2            \                        3    2               /         2   \                   /         2   \                                           \
\1 + tan (x + sec(x))/*\2*(1 + sec(x)*tan(x)) *\1 + tan (x + sec(x))/ + 4*(1 + sec(x)*tan(x)) *tan (x + sec(x)) + \5 + 6*tan (x)/*sec(x)*tan(x) + 6*\1 + 2*tan (x)/*(1 + sec(x)*tan(x))*sec(x)*tan(x + sec(x))/

$$\left(\tan^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + 1\right) \left(2 \left(\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + 1\right) + 4 \left(\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \tan^{2}{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} + 6 \left(\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x + \sec{\left (x \right )} \right )} \sec{\left (x \right )} + \left(6 \tan^{2}{\left (x \right )} + 5\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right)$$