Производная (tan(x))^4

Вы ввели

   4   
tan (x)

$$\tan^{4}{\left(x \right)}$$

d /   4   \
--\tan (x)/
dx         

$$\frac{d}{d x} \tan^{4}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4 \tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{4 \tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   3    /         2   \
tan (x)*\4 + 4*tan (x)/

$$\left(4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \tan^{3}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

     2    /       2   \ /         2   \
4*tan (x)*\1 + tan (x)/*\3 + 5*tan (x)/

$$4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                /                           2                           \       
  /       2   \ |     4        /       2   \          2    /       2   \|       
8*\1 + tan (x)/*\2*tan (x) + 3*\1 + tan (x)/  + 10*tan (x)*\1 + tan (x)//*tan(x)

$$8 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}$$

График