Производная tan(x^2-1)

Вы ввели

   / 2    \
tan\x  - 1/

$$\tan{\left(x^{2} - 1 \right)}$$

d /   / 2    \\
--\tan\x  - 1//
dx             

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(x^{2} - 1 \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(x^{2} - 1 \right)} = \frac{\sin{\left(x^{2} - 1 \right)}}{\cos{\left(x^{2} - 1 \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} - 1 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} - 1 \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left(x^{2} - 1 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 x \sin{\left(x^{2} - 1 \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 x \sin^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{\cos^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{\cos^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}$

Первая производная

    /       2/ 2    \\
2*x*\1 + tan \x  - 1//

$$2 x \left(\tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/      2\      2 /       2/      2\\    /      2\\
2*\1 + tan \-1 + x / + 4*x *\1 + tan \-1 + x //*tan\-1 + x //

$$2 \cdot \left(4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 1\right) \tan{\left(x^{2} - 1 \right)} + \tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 1\right)$$

Третья производная

    /       2/      2\\ /     /      2\      2 /       2/      2\\      2    2/      2\\
8*x*\1 + tan \-1 + x //*\3*tan\-1 + x / + 2*x *\1 + tan \-1 + x // + 4*x *tan \-1 + x //

$$8 x \left(\tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 1\right) \left(2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 1\right) + 4 x^{2} \tan^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 3 \tan{\left(x^{2} - 1 \right)}\right)$$

График