Производная tan(x)^7*x

Вы ввели

   7     
tan (x)*x

$$x \tan^{7}{\left(x \right)}$$

d /   7     \
--\tan (x)*x/
dx           

$$\frac{d}{d x} x \tan^{7}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \tan^{7}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $\frac{7 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan^{7}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(7 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(7 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   7           6    /         2   \
tan (x) + x*tan (x)*\7 + 7*tan (x)/

$$x \left(7 \tan^{2}{\left(x \right)} + 7\right) \tan^{6}{\left(x \right)} + \tan^{7}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

      5    /       2   \ /  /         2   \         \
14*tan (x)*\1 + tan (x)/*\x*\3 + 4*tan (x)/ + tan(x)/

$$14 \left(x \left(4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{5}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                         /  /                            2                           \                           \
      4    /       2   \ |  |     4         /       2   \          2    /       2   \|     /         2   \       |
14*tan (x)*\1 + tan (x)/*\x*\2*tan (x) + 15*\1 + tan (x)/  + 19*tan (x)*\1 + tan (x)// + 3*\3 + 4*tan (x)/*tan(x)/

$$14 \left(x \left(15 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 19 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(x \right)}\right) + 3 \cdot \left(4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)}$$

График