Производная 3^x/9^x

Вы ввели

 x
3 
--
 x
9 

$$\frac{3^{x}}{9^{x}}$$

  / x\
d |3 |
--|--|
dx| x|
  \9 /

$$\frac{d}{d x} \frac{3^{x}}{9^{x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 3^{x}$ и $g{\left(x \right)} = 9^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 9^{x} = 9^{x} \log{\left(9 \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $9^{- 2 x} \left(- 27^{x} \log{\left(9 \right)} + 27^{x} \log{\left(3 \right)}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- 3^{- x} \log{\left(3 \right)}$

---

Ответ:

$- 3^{- x} \log{\left(3 \right)}$

Первая производная

 x  -x           x  -x       
3 *9  *log(3) - 3 *9  *log(9)

$$- 3^{x} 9^{- x} \log{\left(9 \right)} + 3^{x} 9^{- x} \log{\left(3 \right)}$$

Вторая производная

 x  -x /   2         2                     \
3 *9  *\log (3) + log (9) - 2*log(3)*log(9)/

$$3^{x} 9^{- x} \left(- 2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(9 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(9 \right)}^{2}\right)$$

Третья производная

 x  -x /   3         3           2                  2          \
3 *9  *\log (3) - log (9) - 3*log (3)*log(9) + 3*log (9)*log(3)/

$$3^{x} 9^{- x} \left(- \log{\left(9 \right)}^{3} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(9 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(9 \right)}^{2}\right)$$

График