Производная y*sin(y^2)

Вы ввели

     / 2\
y*sin\y /

$$y \sin{\left(y^{2} \right)}$$

d /     / 2\\
--\y*sin\y //
dy           

$$\frac{d}{d y} y \sin{\left(y^{2} \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = y$; найдём $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $y$ получим $1$

   $g{\left(y \right)} = \sin{\left(y^{2} \right)}$; найдём $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Заменим $u = y^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d y} y^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $y^{2}$ получим $2 y$

      В результате последовательности правил:

      $2 y \cos{\left(y^{2} \right)}$

   В результате: $2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}$

---

Ответ:

$2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}$

Первая производная

   2    / 2\      / 2\
2*y *cos\y / + sin\y /

$$2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}$$

Вторая производная

    /     / 2\      2    / 2\\
2*y*\3*cos\y / - 2*y *sin\y //

$$2 y \left(- 2 y^{2} \sin{\left(y^{2} \right)} + 3 \cos{\left(y^{2} \right)}\right)$$

Третья производная

  /     / 2\      2    / 2\      2 /     / 2\      2    / 2\\\
2*\3*cos\y / - 6*y *sin\y / - 2*y *\3*sin\y / + 2*y *cos\y ///

$$2 \left(- 2 y^{2} \cdot \left(2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + 3 \sin{\left(y^{2} \right)}\right) - 6 y^{2} \sin{\left(y^{2} \right)} + 3 \cos{\left(y^{2} \right)}\right)$$

График