Производная 8^cot(x^2)

Вы ввели

    / 2\
 cot\x /
8       

$$8^{\cot{\left (x^{2} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x^{2} \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 8^{u} = 8^{u} \log{\left (8 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 x}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{8^{\cot{\left (x^{2} \right )}} \log{\left (8 \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )} \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}} \left(2 x \sin^{2}{\left (x^{2} \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{\frac{3}{\tan{\left (x^{2} \right )}}} x}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}} \log{\left (64 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{\frac{3}{\tan{\left (x^{2} \right )}}} x}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}} \log{\left (64 \right )}$

Первая производная

        / 2\                       
     cot\x / /        2/ 2\\       
2*x*8       *\-1 - cot \x //*log(8)

$$2 \cdot 8^{\cot{\left (x^{2} \right )}} x \left(- \cot^{2}{\left (x^{2} \right )} - 1\right) \log{\left (8 \right )}$$

Вторая производная

      / 2\                                                                       
   cot\x / /       2/ 2\\ /        2    / 2\      2 /       2/ 2\\       \       
2*8       *\1 + cot \x //*\-1 + 4*x *cot\x / + 2*x *\1 + cot \x //*log(8)/*log(8)

$$2 \cdot 8^{\cot{\left (x^{2} \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(2 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \log{\left (8 \right )} + 4 x^{2} \cot{\left (x^{2} \right )} - 1\right) \log{\left (8 \right )}$$

Третья производная

        / 2\                /                                                                                               2                                              \       
     cot\x / /       2/ 2\\ |     / 2\      2    2/ 2\      2 /       2/ 2\\     /       2/ 2\\             2 /       2/ 2\\     2          2 /       2/ 2\\    / 2\       |       
4*x*8       *\1 + cot \x //*\6*cot\x / - 8*x *cot \x / - 4*x *\1 + cot \x // + 3*\1 + cot \x //*log(8) - 2*x *\1 + cot \x // *log (8) - 12*x *\1 + cot \x //*cot\x /*log(8)/*log(8)

$$4 \cdot 8^{\cot{\left (x^{2} \right )}} x \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(- 2 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (8 \right )} - 12 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \log{\left (8 \right )} \cot{\left (x^{2} \right )} - 4 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) - 8 x^{2} \cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \log{\left (8 \right )} + 6 \cot{\left (x^{2} \right )}\right) \log{\left (8 \right )}$$