Производная 8^(tan(x))

Вы ввели

 tan(x)
8      

$$8^{\tan{\left(x \right)}}$$

d / tan(x)\
--\8      /
dx         

$$\frac{d}{d x} 8^{\tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 8^{u} = 8^{u} \log{\left(8 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8^{\tan{\left(x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(8 \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\log{\left(8^{8^{\tan{\left(x \right)}}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(8^{8^{\tan{\left(x \right)}}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

 tan(x) /       2   \       
8      *\1 + tan (x)/*log(8)

$$8^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(8 \right)}$$

Вторая производная

 tan(x) /       2   \ /           /       2   \       \       
8      *\1 + tan (x)/*\2*tan(x) + \1 + tan (x)/*log(8)/*log(8)

$$8^{\tan{\left(x \right)}} \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(8 \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(8 \right)}$$

Третья производная

                      /                             2                                        \       
 tan(x) /       2   \ |         2      /       2   \     2        /       2   \              |       
8      *\1 + tan (x)/*\2 + 6*tan (x) + \1 + tan (x)/ *log (8) + 6*\1 + tan (x)/*log(8)*tan(x)/*log(8)

$$8^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(8 \right)}^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(8 \right)} \tan{\left(x \right)} + 6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(8 \right)}$$

График