Производная x5/sin(x)

Вы ввели

  x5  
------
sin(x)

$$\frac{x_{5}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /  x5  \
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{\partial}{\partial x} \frac{x_{5}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{x_{5} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{x_{5} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

-x5*cos(x) 
-----------
     2     
  sin (x)  

$$- \frac{x_{5} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

   /         2   \
   |    2*cos (x)|
x5*|1 + ---------|
   |        2    |
   \     sin (x) /
------------------
      sin(x)      

$$\frac{x_{5} \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

    /         2   \        
    |    6*cos (x)|        
-x5*|5 + ---------|*cos(x) 
    |        2    |        
    \     sin (x) /        
---------------------------
             2             
          sin (x)          

$$- \frac{x_{5} \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$