Производная x/(2-x)

Вы ввели

  x  
-----
2 - x

$$\frac{x}{- x + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

Первая производная

  1        x    
----- + --------
2 - x          2
        (2 - x) 

$$\frac{x}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{- x + 2}$$

Вторая производная

  /      x   \
2*|1 - ------|
  \    -2 + x/
--------------
          2   
  (-2 + x)    

$$\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 2\right)$$

Третья производная

  /       x   \
6*|-1 + ------|
  \     -2 + x/
---------------
           3   
   (-2 + x)    

$$\frac{\frac{6 x}{x - 2} - 6}{\left(x - 2\right)^{3}}$$