Производная x/(e^x-1)

Вы ввели

  x   
------
 x    
E  - 1

$$\frac{x}{e^{x} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = e^{x} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{x} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(- x e^{x} + e^{x} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(- x e^{x} + e^{x} - 1\right)$

Первая производная

               x  
  1         x*e   
------ - ---------
 x               2
E  - 1   / x    \ 
         \E  - 1/ 

$$- \frac{x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{e^{x} - 1}$$

Вторая производная

/               x\   
|          2*x*e |  x
|-2 - x + -------|*e 
|               x|   
\         -1 + e /   
---------------------
               2     
      /      x\      
      \-1 + e /      

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(- x + \frac{2 x e^{x}}{e^{x} - 1} - 2\right)$$

Третья производная

/              x          2*x          x\   
|           6*e      6*x*e        6*x*e |  x
|-3 - x + ------- - ---------- + -------|*e 
|               x            2         x|   
|         -1 + e    /      x\    -1 + e |   
\                   \-1 + e /           /   
--------------------------------------------
                          2                 
                 /      x\                  
                 \-1 + e /                  

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(- x + \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} - 3 + \frac{6 e^{x}}{e^{x} - 1}\right)$$