Производная x/(e^x+1)

Вы ввели

  x   
------
 x    
E  + 1

$$\frac{x}{e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(- x e^{x} + e^{x} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(- x e^{x} + e^{x} + 1\right)$

Первая производная

               x  
  1         x*e   
------ - ---------
 x               2
E  + 1   / x    \ 
         \E  + 1/ 

$$- \frac{x e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{e^{x} + 1}$$

Вторая производная

/              x\   
|         2*x*e |  x
|-2 - x + ------|*e 
|              x|   
\         1 + e /   
--------------------
             2      
     /     x\       
     \1 + e /       

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(- x + \frac{2 x e^{x}}{e^{x} + 1} - 2\right)$$

Третья производная

/             x          2*x        x\   
|          6*e      6*x*e      6*x*e |  x
|-3 - x + ------ - --------- + ------|*e 
|              x           2        x|   
|         1 + e    /     x\    1 + e |   
\                  \1 + e /          /   
-----------------------------------------
                        2                
                /     x\                 
                \1 + e /                 

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(- x + \frac{6 x e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{6 x e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - 3 + \frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1}\right)$$