Производная x/(1-x^2)

Вы ввели

  x   
------
     2
1 - x 

$$\frac{x}{- x^{2} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x^{2} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 2 x$

      В результате: $- 2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 1}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} + 1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} + 1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

               2  
  1         2*x   
------ + ---------
     2           2
1 - x    /     2\ 
         \1 - x / 

$$\frac{2 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{- x^{2} + 1}$$

Вторая производная

    /         2 \
    |      4*x  |
2*x*|3 - -------|
    |          2|
    \    -1 + x /
-----------------
             2   
    /      2\    
    \-1 + x /    

$$\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)$$

Третья производная

  /         2          4   \
  |      8*x        8*x    |
6*|1 - ------- + ----------|
  |          2            2|
  |    -1 + x    /      2\ |
  \              \-1 + x / /
----------------------------
                  2         
         /      2\          
         \-1 + x /          

$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{48 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{48 x^{2}}{x^{2} - 1} + 6\right)$$