Производная x/(1+x^4)

Вы ввели

  x   
------
     4
1 + x 

$$\frac{x}{x^{4} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{4} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{4} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

      В результате: $4 x^{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 3 x^{4} + 1}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

               4  
  1         4*x   
------ - ---------
     4           2
1 + x    /     4\ 
         \1 + x / 

$$- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{4} + 1}$$

Вторая производная

     /         4 \
   3 |      8*x  |
4*x *|-5 + ------|
     |          4|
     \     1 + x /
------------------
            2     
    /     4\      
    \1 + x /      

$$\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} + 1} - 5\right)$$

Третья производная

      /           8         4 \
    2 |       32*x      32*x  |
12*x *|-5 - --------- + ------|
      |             2        4|
      |     /     4\    1 + x |
      \     \1 + x /          /
-------------------------------
                   2           
           /     4\            
           \1 + x /            

$$\frac{12 x^{2}}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{32 x^{8}}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{32 x^{4}}{x^{4} + 1} - 5\right)$$