Производная x/(16-x^2)

Вы ввели

   x   
-------
      2
16 - x 

$$\frac{x}{- x^{2} + 16}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x^{2} + 16$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{2} + 16$ почленно:

      1. Производная постоянной $16$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 2 x$

      В результате: $- 2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 16}{\left(- x^{2} + 16\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} + 16}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} + 16}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}$

Первая производная

                2   
   1         2*x    
------- + ----------
      2            2
16 - x    /      2\ 
          \16 - x / 

$$\frac{2 x^{2}}{\left(- x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{1}{- x^{2} + 16}$$

Вторая производная

    /         2  \
    |      4*x   |
2*x*|3 - --------|
    |           2|
    \    -16 + x /
------------------
             2    
   /       2\     
   \-16 + x /     

$$\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)$$

Третья производная

  /         2            4   \
  |      8*x          8*x    |
6*|1 - -------- + -----------|
  |           2             2|
  |    -16 + x    /       2\ |
  \               \-16 + x / /
------------------------------
                   2          
         /       2\           
         \-16 + x /           

$$\frac{1}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{48 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} - \frac{48 x^{2}}{x^{2} - 16} + 6\right)$$