Производная x/(16+x^2)

Вы ввели

   x   
-------
      2
16 + x 

$$\frac{x}{x^{2} + 16}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + 16$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 16$ почленно:

      1. Производная постоянной $16$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{2} + 16}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- x^{2} + 16}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}}$

Первая производная

                2   
   1         2*x    
------- - ----------
      2            2
16 + x    /      2\ 
          \16 + x / 

$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 16}$$

Вторая производная

    /          2 \
    |       4*x  |
2*x*|-3 + -------|
    |           2|
    \     16 + x /
------------------
             2    
    /      2\     
    \16 + x /     

$$\frac{2 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right)$$

Третья производная

  /           4           2 \
  |        8*x         8*x  |
6*|-1 - ---------- + -------|
  |              2         2|
  |     /      2\    16 + x |
  \     \16 + x /           /
-----------------------------
                   2         
          /      2\          
          \16 + x /          

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(- \frac{48 x^{4}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{48 x^{2}}{x^{2} + 16} - 6\right)$$