Производная x/tan(x)

Вы ввели

  x   
------
tan(x)

$$\frac{x}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

           /        2   \
  1      x*\-1 - tan (x)/
------ + ----------------
tan(x)          2        
             tan (x)     

$$\frac{x \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /                /       2   \\
  /       2   \ |       1      x*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|-x - ------ + ---------------|
                |     tan(x)          2       |
                \                  tan (x)    /
-----------------------------------------------
                     tan(x)                    

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - x - \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                                                    2                    \
                |                   /       2   \       /       2   \        /       2   \|
  /       2   \ |    3            3*\1 + tan (x)/   3*x*\1 + tan (x)/    5*x*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|- ------ - 2*x + --------------- - ------------------ + -----------------|
                |  tan(x)                3                  4                    2        |
                \                     tan (x)            tan (x)              tan (x)     /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{3 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2 x + \frac{3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{3}{\tan{\left (x \right )}}\right)$$