Производная функции/ От одной переменной/ y' = (x/tan(x))'

Производная x/tan(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  x   
------
tan(x)
xtan⁡(x)\frac{x}{\tan{\left (x \right )}}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x и g(x)=tan⁡(x)g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}

    Теперь применим правило производной деления:

    1tan⁡2(x)(−xcos⁡2(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))+tan⁡(x))\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    −xsin⁡2(x)+1tan⁡(x)- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}

Ответ:

−xsin⁡2(x)+1tan⁡(x)- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Первая производная [src]
           /        2   \
  1      x*\-1 - tan (x)/
------ + ----------------
tan(x)          2        
             tan (x)
x(−tan⁡2(x)−1)tan⁡2(x)+1tan⁡(x)\frac{x \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}
Упростить
Вторая производная [src]
                /                /       2   \\
  /       2   \ |       1      x*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|-x - ------ + ---------------|
                |     tan(x)          2       |
                \                  tan (x)    /
-----------------------------------------------
                     tan(x)
2tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)(x(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)−x−1tan⁡(x))\frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - x - \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
                /                                                    2                    \
                |                   /       2   \       /       2   \        /       2   \|
  /       2   \ |    3            3*\1 + tan (x)/   3*x*\1 + tan (x)/    5*x*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|- ------ - 2*x + --------------- - ------------------ + -----------------|
                |  tan(x)                3                  4                    2        |
                \                     tan (x)            tan (x)              tan (x)     /
2(tan⁡2(x)+1)(−3x(tan⁡2(x)+1)2tan⁡4(x)+5x(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)−2x+3tan⁡2(x)+3tan⁡3(x)−3tan⁡(x))2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{3 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2 x + \frac{3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{3}{\tan{\left (x \right )}}\right)
Упростить