Производная x/(x-1)

Вы ввели

  x  
-----
x - 1

$$\frac{x}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

  1        x    
----- - --------
x - 1          2
        (x - 1) 

$$- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}$$

Вторая производная

  /       x   \
2*|-1 + ------|
  \     -1 + x/
---------------
           2   
   (-1 + x)    

$$\frac{\frac{2 x}{x - 1} - 2}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /      x   \
6*|1 - ------|
  \    -1 + x/
--------------
          3   
  (-1 + x)    

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(- \frac{6 x}{x - 1} + 6\right)$$