Производная x/(x+1)^2

Вы ввели

   x    
--------
       2
(x + 1) 

$$\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \left(x + 1\right)^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $2 x + 2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}} \left(- x \left(2 x + 2\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

---

Ответ:

$\frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

Первая производная

   1       x*(-2 - 2*x)
-------- + ------------
       2            4  
(x + 1)      (x + 1)   

$$\frac{x \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /      3*x \
2*|-2 + -----|
  \     1 + x/
--------------
          3   
   (1 + x)    

$$\frac{\frac{6 x}{x + 1} - 4}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Третья производная

  /     4*x \
6*|3 - -----|
  \    1 + x/
-------------
          4  
   (1 + x)   

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}} \left(- \frac{24 x}{x + 1} + 18\right)$$