Производная x/x^2-1

Вы ввели

x     
-- - 1
 2    
x     

$$\frac{x}{x^{2}} - 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{x}{x^{2}} - 1$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{2}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

   В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

1    2 
-- - --
 2    2
x    x 

$$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}$$

Вторая производная

2 
--
 3
x 

$$\frac{2}{x^{3}}$$

Третья производная

-6 
---
  4
 x 

$$- \frac{6}{x^{4}}$$