Производная (x-4)*cot(x)

Вы ввели

(x - 4)*cot(x)

$$\left(x - 4\right) \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x - 4$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 4$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $-4$ равна нулю.

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{\left(x - 4\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x + \sin{\left (2 x \right )} + 8}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 x + \sin{\left (2 x \right )} + 8}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

/        2   \                 
\-1 - cot (x)/*(x - 4) + cot(x)

$$\left(x - 4\right) \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /        2      /       2   \                \
2*\-1 - cot (x) + \1 + cot (x)/*(-4 + x)*cot(x)/

$$2 \left(\left(x - 4\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /           /       2   \                 2            \
2*\1 + cot (x)/*\3*cot(x) - \1 + cot (x)/*(-4 + x) - 2*cot (x)*(-4 + x)/

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \left(x - 4\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 \left(x - 4\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$