Производная x-log(1+x)

Вы ввели

x - log(1 + x)

$$x - \log{\left (x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x - \log{\left (x + 1 \right )}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x + 1$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x + 1}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x + 1}$

   В результате: $1 - \frac{1}{x + 1}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{x + 1}$

---

Ответ:

$\frac{x}{x + 1}$

Первая производная

      1  
1 - -----
    1 + x

$$1 - \frac{1}{x + 1}$$

Вторая производная

   1    
--------
       2
(1 + x) 

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  -2    
--------
       3
(1 + x) 

$$- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$