Производная x-1/(x+1)

Вы ввели

      1  
x - -----
    x + 1

$$x - \frac{1}{x + 1}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x - \frac{1}{x + 1}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате: $1 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $1 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$1 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

       1    
1 + --------
           2
    (x + 1) 

$$1 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  -2    
--------
       3
(1 + x) 

$$- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Третья производная

   6    
--------
       4
(1 + x) 

$$\frac{6}{\left(x + 1\right)^{4}}$$