Производная (x-1/x)^2

Вы ввели

       2
/    1\ 
|x - -| 
\    x/ 

$$\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 + \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(2 x - \frac{2}{x}\right)$

4. Теперь упростим:

   $2 x - \frac{2}{x^{3}}$

---

Ответ:

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

Первая производная

/    2 \ /    1\
|2 + --|*|x - -|
|     2| \    x/
\    x /        

$$\left(2 + \frac{2}{x^{2}}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right)$$

Вторая производная

  /              /    1\\
  |        2   2*|x - -||
  |/    1 \      \    x/|
2*||1 + --|  - ---------|
  ||     2|         3   |
  \\    x /        x    /

$$2 \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3}} \left(2 x - \frac{2}{x}\right)\right)$$

Третья производная

   /              1\
   |          x - -|
   |     1        x|
12*|-1 - -- + -----|
   |      2     x  |
   \     x         /
--------------------
          3         
         x          

$$\frac{1}{x^{3}} \left(-12 + \frac{1}{x} \left(12 x - \frac{12}{x}\right) - \frac{12}{x^{2}}\right)$$