Производная (x-1)*log(1-x)

Вы ввели

(x - 1)*log(1 - x)

$$\left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x - 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (- x + 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{- x + 1}$

   В результате: $\log{\left (- x + 1 \right )} - \frac{x - 1}{- x + 1}$

2. Теперь упростим:

   $\log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

---

Ответ:

$\log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

Первая производная

  x - 1             
- ----- + log(1 - x)
  1 - x             

$$\log{\left (- x + 1 \right )} - \frac{x - 1}{- x + 1}$$

Вторая производная

  1   
------
-1 + x

$$\frac{1}{x - 1}$$

Третья производная

   -1    
---------
        2
(-1 + x) 

$$- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$