Производная x+(1/(x+1))

Вы ввели

        1  
x + 1*-----
      x + 1

$$x + 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$$

d /        1  \
--|x + 1*-----|
dx\      x + 1/

$$\frac{d}{d x} \left(x + 1 \cdot \frac{1}{x + 1}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x + 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате: $1 - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$1 - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

       1    
1 - --------
           2
    (x + 1) 

$$1 - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

   2    
--------
       3
(1 + x) 

$$\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Третья производная

  -6    
--------
       4
(1 + x) 

$$- \frac{6}{\left(x + 1\right)^{4}}$$

График