Производная (x+1/x)^2

Вы ввели

       2
/    1\ 
|x + -| 
\    x/ 

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(2 x + \frac{2}{x}\right)$

4. Теперь упростим:

   $2 x - \frac{2}{x^{3}}$

---

Ответ:

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

Первая производная

/    2 \ /    1\
|2 - --|*|x + -|
|     2| \    x/
\    x /        

$$\left(2 - \frac{2}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)$$

Вторая производная

  /              /    1\\
  |        2   2*|x + -||
  |/    1 \      \    x/|
2*||1 - --|  + ---------|
  ||     2|         3   |
  \\    x /        x    /

$$2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{x^{3}} \left(2 x + \frac{2}{x}\right)\right)$$

Третья производная

   /             1\
   |         x + -|
   |    1        x|
12*|1 - -- - -----|
   |     2     x  |
   \    x         /
-------------------
          3        
         x         

$$\frac{1}{x^{3}} \left(12 - \frac{1}{x} \left(12 x + \frac{12}{x}\right) - \frac{12}{x^{2}}\right)$$