Производная (x+1)*log(x+1)

Вы ввели

(x + 1)*log(x + 1)

$$\left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   В результате: $\log{\left (x + 1 \right )} + 1$

2. Теперь упростим:

   $\log{\left (x + 1 \right )} + 1$

---

Ответ:

$\log{\left (x + 1 \right )} + 1$

Первая производная

1 + log(x + 1)

$$\log{\left (x + 1 \right )} + 1$$

Вторая производная

  1  
-----
1 + x

$$\frac{1}{x + 1}$$

Третья производная

  -1    
--------
       2
(1 + x) 

$$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$