Производная (x+1)*tan(x)

Вы ввели

(x + 1)*tan(x)

$$\left(x + 1\right) \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1\right)$

Первая производная

/       2   \                 
\1 + tan (x)/*(x + 1) + tan(x)

$$\left(x + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2              /       2   \       \
2*\1 + tan (x) + (1 + x)*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 \left(\left(x + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /                   /       2   \        2           \
2*\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + (1 + x)*\1 + tan (x)/ + 2*tan (x)*(1 + x)/

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 \left(x + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 3 \tan{\left (x \right )}\right)$$