Производная (x+5)/x^4

Вы ввели

x + 5
-----
   4 
  x  

$$\frac{1}{x^{4}} \left(x + 5\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x + 5$ и $g{\left (x \right )} = x^{4}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 5$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{8}} \left(x^{4} - 4 x^{3} \left(x + 5\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{5}} \left(3 x + 20\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{5}} \left(3 x + 20\right)$

Первая производная

1    4*(x + 5)
-- - ---------
 4        5   
x        x    

$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{5}} \left(4 x + 20\right)$$

Вторая производная

  /     5*(5 + x)\
4*|-2 + ---------|
  \         x    /
------------------
         5        
        x         

$$\frac{1}{x^{5}} \left(-8 + \frac{1}{x} \left(20 x + 100\right)\right)$$

Третья производная

   /    2*(5 + x)\
60*|1 - ---------|
   \        x    /
------------------
         6        
        x         

$$\frac{1}{x^{6}} \left(60 - \frac{1}{x} \left(120 x + 600\right)\right)$$