Производная (x+6)/sin(x)

Вы ввели

x + 6 
------
sin(x)

$$\frac{x + 6}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x + 6$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 6$ почленно:

      1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(x + 6\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(x + 6\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  1      (x + 6)*cos(x)
------ - --------------
sin(x)         2       
            sin (x)    

$$- \frac{\left(x + 6\right) \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                        2           
        2*cos(x)   2*cos (x)*(6 + x)
6 + x - -------- + -----------------
         sin(x)            2        
                        sin (x)     
------------------------------------
               sin(x)               

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(x + \frac{2 \left(x + 6\right) \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + 6 - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

         2           3                              
    6*cos (x)   6*cos (x)*(6 + x)   5*(6 + x)*cos(x)
3 + --------- - ----------------- - ----------------
        2               3                sin(x)     
     sin (x)         sin (x)                        
----------------------------------------------------
                       sin(x)                       

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 \left(x + 6\right) \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 \left(x + 6\right) \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 3 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$