Производная x*exp(a*x)

Вы ввели

   a*x
x*e   

$$x e^{a x}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{a x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = a x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      В результате последовательности правил:

      $a e^{a x}$

   В результате: $a x e^{a x} + e^{a x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(a x + 1\right) e^{a x}$

---

Ответ:

$\left(a x + 1\right) e^{a x}$

Первая производная

     a*x    a*x
a*x*e    + e   

$$a x e^{a x} + e^{a x}$$

Вторая производная

             a*x
a*(2 + a*x)*e   

$$a \left(a x + 2\right) e^{a x}$$

Третья производная

 2            a*x
a *(3 + a*x)*e   

$$a^{2} \left(a x + 3\right) e^{a x}$$