Производная x*exp(1/x)

Вы ввели

   1
   -
   x
x*e 

$$x e^{\frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{\frac{1}{x}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

   В результате: $e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \left(x - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \left(x - 1\right)$

Первая производная

   1     
   -    1
   x    -
  e     x
- -- + e 
  x      

$$e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Вторая производная

 1
 -
 x
e 
--
 3
x 

$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$

Третья производная

          1 
          - 
 /    1\  x 
-|3 + -|*e  
 \    x/    
------------
      4     
     x      

$$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(3 + \frac{1}{x}\right)$$