Производная x*exp(x^2)

Вы ввели

   / 2\
   \x /
x*e    

$$x e^{x^{2}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{x^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x e^{x^{2}}$

   В результате: $2 x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}$

---

Ответ:

$\left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}$

Первая производная

      / 2\    / 2\
   2  \x /    \x /
2*x *e     + e    

$$2 x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}}$$

Вторая производная

                / 2\
    /       2\  \x /
2*x*\3 + 2*x /*e    

$$2 x \left(2 x^{2} + 3\right) e^{x^{2}}$$

Третья производная

                      / 2\
  /       4       2\  \x /
2*\3 + 4*x  + 12*x /*e    

$$2 \left(4 x^{4} + 12 x^{2} + 3\right) e^{x^{2}}$$