Производная x*exp(x)^x

Вы ввели

      x
  / x\ 
x*\e / 

$$x \left(e^{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \left(e^{x}\right)^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

   В результате: $x x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \left(e^{x}\right)^{x}$

2. Теперь упростим:

   $x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \left(e^{x}\right)^{x}$

---

Ответ:

$x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \left(e^{x}\right)^{x}$

Первая производная

    x         x              
/ x\      / x\  /       / x\\
\e /  + x*\e / *\x + log\e //

$$x \left(x + \log{\left (e^{x} \right )}\right) \left(e^{x}\right)^{x} + \left(e^{x}\right)^{x}$$

Вторая производная

    x /                                 2\
/ x\  |     / x\           /       / x\\ |
\e / *\2*log\e / + 4*x + x*\x + log\e // /

$$\left(x \left(x + \log{\left (e^{x} \right )}\right)^{2} + 4 x + 2 \log{\left (e^{x} \right )}\right) \left(e^{x}\right)^{x}$$

Третья производная

    x /                   2                  3                    \
/ x\  |      /       / x\\      /       / x\\        /       / x\\|
\e / *\6 + 3*\x + log\e //  + x*\x + log\e //  + 6*x*\x + log\e ///

$$\left(x \left(x + \log{\left (e^{x} \right )}\right)^{3} + 6 x \left(x + \log{\left (e^{x} \right )}\right) + 3 \left(x + \log{\left (e^{x} \right )}\right)^{2} + 6\right) \left(e^{x}\right)^{x}$$